1. 操作
拖动、切分、涂色
学生改变参数并观察模型如何响应。数学藏在变化里，而不只是符号里。
41 个免费工具 · 无需安装 · 可嵌入
免费虚拟数学
教具：K-8
41 个浏览器内互动数学工具：十进制积木、分数条、阵列、量角器、天平、坐标平面和公式推导。可免费使用，也可嵌入 Google Sites、Canvas 或 Schoology。无需安装、无需插件、无需账号。
为什么先可视化
先看见结构，再写符号。
具体-图示-抽象的顺序能帮助 K-8 学生把数学概念建立在可观察模型上。虚拟教具就是数字化的“图示”中间层：学生可以拖动、切分、平均分和重排数学对象，再把观察到的结构写成算式。
2. 观察
看见不变的结构
等值分数叠在一起会一样长，等值比会一起缩放；模式先可见，再被说出来。
3. 符号化
再写公式或算式
结构可见后，方程只是刚才模型的简写，而不是突然出现的规则。
目录
7 个分类 · 41 个工具。
每个工具都是独立 Vue 数学教具：有专属 URL，可在任意浏览器中运行，并可通过 iframe 嵌入。
8 个工具
数与运算
位值、乘法、除法以及多位数运算背后的结构，是 K-5 数学的基础。
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十进制积木
能搭出来的位值
用百方块、十条和个位搭出 347，让数字从符号变成可交换、可组合的数量。
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数轴跳跃
把加法看成运动
沿数轴等距跳跃并留下轨迹，让方向、距离和运算符号变成同一个视觉想法。
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阵列搭建器
行、列与乘法
搭出相等的行，观察 4x6 不是魔法口诀，而是一个有 24 个点的矩形。
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等分实验室
把除法看成公平分组
创建小组并平均填充，区分“有多少组”和“每组有多少”。
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部分积方框
看见多位数乘法为什么成立
把 23x14 拆成位值矩形，标准竖式背后的面积模型就显现出来。
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长除法分步器
在语境中理解商和余数
逐步显示商、乘积、相减和余数，让长除法成为有顺序的过程，而不是一堆符号。
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面积模型乘法
拆开大数再合并
把 12x13 沿十位拆成四个部分积：10x10、10x3、2x10、2x3，再把面积相加。
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埃拉托色尼筛法
用排除法寻找所有质数
点击最小的活跃数字，它的倍数会连锁变灰。剩下亮着的就是质数。
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3 个工具
分数与小数
平均分、等值关系，以及同一个量如何写成分数、小数和百分数。
2 个工具
比与比例
加法关系的乘法版：等值比、单位率，以及通向代数的条带图桥梁。
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几何与测量
面积、周长、体积、角度、坐标、时间，以及 πr² 和勾股定理背后的公式来源。
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网格铺砖与边界
区分面积和周长
改变长方形的行和列，让面积与周长分别更新，避免把内部空间和外部距离混在一起。
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量角器实验室
把度数看成旋转
自由旋转一条射线，从基准线读取角度，理解顶点和零刻度对齐的重要性。
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坐标平面导航
先 x，再 y
在四象限网格中移动，体会有序数对就是一组移动指令。
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立方体堆叠体积
长 x 宽 x 高
把单位立方体堆成层，观察体积怎样从底面积乘以高度得到。
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表面积展开图
把表面积看成外包装
把长方体展开成六个面，相加所有可见矩形。
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πr² 从哪里来？
切片、重排、发现
把圆切成 4、8、16、32 片并交错排列，观察它逐渐接近平行四边形：底约为 πr，高为 r。
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拖动半径，感受 r²
观察面积怎样平方增长
拖动半径，实时观察圆面积变化。半径每增加 1，面积增加的是新的一圈平方层，而不是直线增长。
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把圆展开成近似矩形
从 4 片到 32 片
增加切片数量，观察弧边逐渐变直，32 片时接近底为 πr、高为 r 的平行四边形。
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正方形里的四个四分之一圆
拼出剩余区域
从正方形四角切去四个四分之一圆，观察剩余面积就是正方形面积减去一个整圆。
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正方形减内切圆
计算四个角落空隙
从正方形中切出最大的圆，观察四个角落空隙如何随边长一起缩放。
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体育场形面积
拆分跑道图形
把体育场形拆成一个矩形和两个半圆，也就是一个矩形加一个整圆。
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勾股定理证明：a² + b² = c²
观察正方形面积流动
在直角三角形三边上搭正方形，看两个小正方形面积如何流入最大正方形。
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时钟训练器
把时间看成指针旋转
按 5 分钟转动分针，同时观察时针在两个小时刻度之间移动。
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4 个工具
代数与表达式
把变量看成对象，把方程看成平衡，把运算顺序看成从内向外化简的树。
1 个工具
数据与统计
先搭建、调整和比较条形图，再计算平均数或中位数。
10 个工具
奥数与问题解决
经典应用题模型的可视化版本：鸡兔同笼、和差倍、追及、间隔、容斥等。
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鸡兔同笼
头数固定，用腿数看出混合数量
经典奥数模型：先假设全是鸡，再把一只鸡换成一只兔。每次腿数增加 2，隐藏的鸡兔数量就变得可见。
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方阵问题
平方数和 4(n-1) 外圈
拖动边长生成 n x n 方阵，再挖空内部，发现外圈人数为什么是 4(n-1)。
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牛吃草问题
牛顿放牧问题动画
把牛放到每天会生长的草地上，观察每天净变化 Δ = g - N 如何决定草地能撑多久。
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和差倍条形模型
先拿走差，再分单位
先把多出来的差拿走，再把剩余量分成相等单位，条形模型变成可操作的宝库谜题。
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追及跑道
距离差除以速度差
让两个运动者在同一跑道上前进，观察距离差如何被速度差一点点追平。
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植树间隔实验室
间隔与端点
在线段或环形路线上种树，先点亮间隔，再根据端点规则决定树的数量。
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容斥维恩图
为什么重叠部分要减一次
把徽章拖入两个集合，观察重叠徽章被重复计数后如何通过 A + B - both 修正。
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图形增长实验室
通过新增部分找规律
逐层喂给增长工厂，观察新增加的方块如何显示一阶差分，从而看出规则。
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选择树搭建器
用路径分裂理解计数原理
打开选择门，观察每条旧路径如何被复制到新选项，乘法原理变成会动的树。
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勾股定理拼砖游戏
猜 c，再看面积移动
选择缺失的斜边，再启动拼砖动画，观察 a² 和 b² 如何合成 c²。
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给教师
把任意教具嵌入你的网站。
每个工具都有一个“嵌入到你的网站”按钮，可以复制现成 iframe 代码。放进 Google Sites、Canvas、Schoology、Seesaw、WordPress、Notion 或任意 HTML 页面即可。无需插件、无需 LMS 集成、无需 API key。
<!-- 把这段放入任意 HTML 页面 --> <iframe src="https://inquiryai.zogmath.com/embed/{slug}/" width="100%" height="600" loading="lazy" ></iframe>
虚拟数学教具目录
这个页面适合谁，以及下一步去哪里。
免费虚拟数学教具，适合教师和家长在算式与算法之前展示具体可操作的视觉模型。
适合人群
- 需要先投影一个教具，再让学生独立练习的教师。
- 想展示作业方法背后模型的家长。
- 通过拖动、分割、平衡或测量更容易学习的学生。
解决的问题
- 先给符号解释会让学生只记流程，没有模型支撑。
- 家里或 Chromebook 上不一定有实体教具。
- 很多互动工具没有下一步，无法进入结构化年级练习。