概念实验室 参考原型 9-12 代数 II
单位圆、周期模型与三角恒等式
单位圆上的动点与正弦余弦图同步滚动，参数控制振幅、周期和相位，恒等式由几何关系生成。 学习者需要把每次操作与Algebra II中的关键关系连接起来，并说明观察依据。
CCSS HSS-ID.A.4
参考原型 同题原型
单位圆、周期模型与三角恒等式的可操作参考
下方是已冻结到项目内的可操作案例，用于验证交互方向；它不是该模块的最终发布版本，原型控件可能保留来源语言。最终正式工具会完整支持中英文。目标交互：拖动射线改变角度，刻度读数连续跟随
学习范围
- 理解单位圆、弧度、周期函数、正弦余弦模型和基本恒等式。
交互与反馈
- 操作面
- 可旋转量角器
- 互动
- 拖动射线改变角度，刻度读数连续跟随
- 反馈
- 拆角后显示两个小角之和保持不变
11年级 · 代数 II
关于单位圆、周期模型与三角恒等式
单位圆、周期模型与三角恒等式是一款面向11年级学习者的可视化概念实验室。页面围绕“理解单位圆、弧度、周期函数、正弦余弦模型和基本恒等式。”组织操作、观察和解释，让学生先看到数量、图形或关系怎样变化，再把变化连接到数学语言。
可旋转量角器承担主要学习界面，学生通过“拖动射线改变角度，刻度读数连续跟随”形成证据，并根据“拆角后显示两个小角之和保持不变”检查结果。当前页面提供可操作参考原型，用来预览交互方向；它不是该模块的最终发布版本。
学习目标
- ✓ 理解单位圆、弧度、周期函数、正弦余弦模型和基本恒等式。
- ✓ 使用图形、数据、符号或语言解释单位圆、周期模型与三角恒等式中的关键关系，而不只给出答案。
如何使用
- 1 先阅读任务目标，在可旋转量角器中找到可以改变的对象、数值或表示。
- 2 建立单位圆投影，同时描述画面中哪些量发生变化、哪些关系保持不变。
- 3 展开为周期函数，同时描述画面中哪些量发生变化、哪些关系保持不变。
- 4 调整参数并验证恒等式，同时描述画面中哪些量发生变化、哪些关系保持不变。
- 5 完成操作后，用一句完整的话解释结果，并利用页面反馈检查自己的依据。
需要重点观察什么
- 重点关注操作与数学表示之间的对应关系：每一次改变都应该能够在图形、数值、表格或符号中找到证据。
- 比较变化前后的状态，说明单位圆、周期模型与三角恒等式中的不变量、变化量以及它们为什么符合代数 II的核心概念。
常见误区与纠正方法
只完成拖动或计算，却没有说明结果为什么成立。
纠正：要求学习者指向页面中的具体证据，再用单位圆、周期模型与三角恒等式相关的数学词汇解释操作、表示与结论之间的关系。
教师与家长使用建议
- 01 先让学生预测一次操作会带来什么变化，再实际操作并比较预测与结果。
- 02 不要把速度作为主要目标；优先追问“你看到了什么证据”“换一种表示是否仍然成立”。
- 03 教师或家长可以改变一个条件，邀请学生判断哪些结论仍成立，从而检查理解是否能够迁移。
先修知识
- → 熟练掌握一次、二次函数与多项式因式分解。
- → 理解函数图像变换、指数与对数运算及基本几何证明。
常见问题
这个工具适合谁使用？
主要面向11年级学习者，也适合教师投屏讲解、同伴讨论和家长陪伴练习。使用前可根据学生经验先复习相关词汇或先修概念。
使用单位圆、周期模型与三角恒等式时最应该关注什么？
应关注操作、视觉变化和数学解释是否一致。正确答案只是结果，能够说明证据和关系才表示真正理解。
参考原型和正式工具有什么区别？
参考原型用于展示可操作方向，可能覆盖相近而非完全相同的题目；页面中的学习目标和关注点才是最终模块的产品要求。